現實中的Delta-hedge是「Model Free」

27 October 2009
Provided by: 信報 (繁體)

Delta-hedge是一種最簡單常見的避險策略，我們慣稱「風險對冲」。誰會在作這些風險對冲？除了以套利為生的交易員，不就是期權發行商！站在一個選擇權賣方的立場上，是希望透過建立避險的投資組合來規避所可能承擔的風險。最原始的delta-hedge是賣出看漲（call）期權後，立即買入其掛鈎的正股，用作對冲正股價格上的受變動，這組合稱之為π。以下是這組合π
C 是看漲（call）期權，S是正股。許多人認定是Black-Scholes-Merton （BSM）公式的出現讓期權交易員可以進行delta-hedge或期權定價，但Nassim Telab（《黑天鵝》一書作者）覺得是一場誤會。
在Black-Scholes-Merton 模型的假設下，市場價格由幾何布朗動姿（Geometric Brownian Motion）描述，意即資產價格波動僅由一風險因子（布朗動姿）控制，因此選擇權賣方的避險投資組合，可以完美複製選擇權到期日的可能虧損。
此評價模型要成立，必須在完全市場的假設之下，例如市場上沒有交易成本、證券的買賣可以連續進行、資產是可分割的等等。但實際上，市場是不完備的，這使無套利關係的假設不成立；也就是說期權交易的風險無法完全規避。
期權交易始於公元前1750年 根據Telab 的研究，人類從事期權交易最早可追溯到1750 B.C.；而荷蘭的穀物交易，遠在1550年已利用期權及遠期合約來進行。
故此，期權交易員（option trader）的對冲（hedging）是從日積月累地不斷觀察市場買賣變化而產生的啟發性行為，Telab稱之為bottom-up heutristics，即從實戰所領會多於依照訂價理論的數學模型。
BSM公式的假設畢竟是過度簡化了現實市場中標的資產價格行為的動態過程。Black 和Scholes （1973）（以下簡稱BS）的選擇權定價公式中，最受批評的假設應為常數不變的波動度。根據許多實證結果顯示，市場上的波動度並非固定，而是隨機變動的。
此外，經由BSM 選擇權定價公式所反推出來的隱含波動度，會產生微笑波幅（implied volatility smile）與期限結構（implied term structure）的現象。下面是這二種現象的簡單介紹：
1.微笑波幅是指在其他條件不變的情況下，對相同的標的資產但不同執行價的選擇權市價，所反算出來的隱含波動度，大部分都是近似微笑形態的曲線，隨着到期日愈遠，此微笑的幅度愈趨平緩。
一般而言，此現象代表BS 高估了價平（at-the-money）買權且低估了價內（in-the-money）與價外（out-the-money）的買權。此外，微笑波幅的程度，會隨着到期日的接近而遞減。
2.期限結構是指在其他條件不變的情況下，對從相同正股衍生但不同到期日的選擇權市價，透過BSM 公式所反算出來的隱含波動度所呈現的形態。許多有關實證指出選擇權的期限結構是不規則的，它可以是任何的形狀，有時候斜率為正（upward），有時斜率卻為負（downward），而且斜率大約二到三個月變換一次。
研究又發現，期限長的隱含波動度，雖然變動的幅度很微小但卻不是固定的，它不停地在變動，此現象更突顯了隨機波動的存在。
股票選擇權市場的莊家（market-maker），如果使用BSM模型作對冲，可能會面臨Volatility Smile與Term Structure of Implied Volatility的問題。
莊家對沖隨微笑波幅調整 實際上，莊家（market-maker） 在市場上的對冲，包括Delta避險策略、Delta-Gamma避險策略、停損策略（Stop-Loss Hedge Strategy）以及調整後停損策略（Adjusted Stop-Loss Hedge Strategy），這些策略大致具有Model Free的特性，意即在實行這些策略毋須事前建立模型，並估計其參數，而在計算交易策略時，僅須利用市場上交易的數據（如指數價格、波動率指數、利率等），能簡單的進行運算。
這些莊家對冲，許多是隨着微笑波幅而調整，他們的delta-hedge是不斷改變，故稱為動態對冲（dynamic hedge）。有些莊家對BSM選擇權定價公式的看法比較厚道，稱說他們自己也不算是沒有用BSM選擇權定價公式，只不過是倒轉來用！