耐人尋味的「引伸波幅」

20 October 2009
Provided by: 信報 (繁體)

筆者是看《老夫子》漫畫長大的那一代。《老夫子》的標題出現的次數最多就是「耐人尋味」。作者王澤曾說，每當他想不到漫畫標題時就會用這標題，他認為，這標題具哲學感，彷彿令漫畫顯得特別有深度！ 今天期權發行商在教育或指引散戶作期權買賣時，經常苦口婆心地叫散戶要留意的「引伸波幅」（implied volatility）。但「引伸波幅」的期權定價模式屬於十分複雜的數學程式，當中具有多個函數，即使投資者能從市場上取得相關數據，並利用現成的計算軟件（包括監管機構所提供的期權計算機）去計算，亦難以計算出發行商根據「場外交易」的「引伸波幅」轉變。所以，對散戶來說，期權的「引伸波幅」亦可算是「耐人尋味」。

不可套利 市場發揮效率 期權的「場外交易」是什麼一回事呢？Stephen Ross 1976 年在 Journal of Business 說：不可套利（no arbitrage）統一了財務金融的分析。就一語道破了無論在現貨市場、期貨市場或衍生性商品市場，如果有一個組合可以讓你套利，那套利機會也會很快消失，市面的大量金錢可以在彈指之間，把套利機會抹平，還是回到不可套利，「市場效率性」因此而發揮到極致。 在統計的思維裏，誤差是在所難免，所以才會有「信賴區間」的產生。但因為「效率市場」的威力，任何偏差可能，都會消失。從這一點來看，若果財務金融市場中現貨市場、期貨市場、衍生性商品市場的結合是非常緊密地的話，偏差、誤差就會消失。 如果要實現這種緊密給合，探討價格的問題就需用上微分方程、部分微分（derivatives and partial derivatives）方程的數學工具。 這就說明了為什麼九十年代初期，華爾街剛開始發展選擇權、權證，僱用一大堆學火箭的物理學家、數學家。想想看，要將人造衛星送入軌道，火箭打太用力，將消失於外太空；太細力，則被地心引力吸下。一定要拿捏得剛剛好。而Black-Scholes（嚴格的全名應是Black-Scholes-Merton）Formula之所以被評為諾貝爾獎之作，就是因為其買權定價公式中，沒有risk premium，即沒有標準差。 除了Taleb及其拍檔，前後亦有不少學者在仔細分析Black-Scholes Formula的原著後，發現其實在Black-Scholes 期權定價公式中，期權價格（P）由現貨價（S），利率（r），期權年期（T）和年期內的波幅（ ）所決定，即P=P（S,r,T, ），然而價格波幅是不可預知的，因此，期權價格也不能經由Black-Scholes 公式決定。事實上，像其他金融產品一樣，期權的市場價格由供求關係和套戥因素決定。 一旦有了期權的市場價（以及現貨價，利率和年期），我們就可以從Black-Scholes 公式中反解出波幅來，這個就是所謂的「引伸波幅」。所以說，Black-Scholes公式的功能不在於為期權定價，而在於它能用作求出「引伸波幅」。 Taleb對Black-Scholes Formula批評的關鍵也就是「引伸波幅」（implied volatility）。歷史已證明，這個諾貝爾定價模式的二位創辦人所經營的對沖基金「長期資本管理」，即使擁有精密電腦買賣程式系統，亦因過分倚賴期權定價模式而倒閉，明顯利用該程式計算出的「引伸波幅」，潛在投資風險更是不可估計。 歸根究底，波幅的量度就是统計學上的標準差（standard deviation）。但不同的分布概率（probability distribution）是有不同的標準差計算方法。不少有關這方面的學術研究，一如Taleb的見解，均指出金融資產的回報，不是一般人認定的常態分布（normal distribution）或對數常態分配（lognormal distribution）。更多的認同是金融資產的回報，應如William J. Egan （2007） 提議的 t-distribution with location／scale parameters 或是如Taleb （2009）提議的 Gaussian distribution更與現實相符。 Taleb指出，Black-Scholes Formula的「投資者對未來回報擁有全備知識」假設，使把回報的分布概率變成常態分布（normal distribution），從而推算出來的波幅有多可信性呢？

消除風險的代價 再者，Taleb同時指出，若果投資者以Black-Scholes Formula進行dynamic hedge，以企圖消除風險（risk reduction），其效果可能如(圖)顯示，消除風險的代價，就是叫投資者忽略了許多機會出現不同而罕有的事件。 有人會懷疑交易員若不用Black-Scholes Formula，又如何進行delta-hedge？ Taleb與 Espen Haug他們合寫的文章 Why We Have Never Used the Black-Scholes-Merton Option Pricing Formula中已被破解這問題。因篇幅關係，留待下周再討論這點。 讀者若有興趣，也可從網上瀏覽原文，網址為http：//ssrn.com/abstract=1012075。 理工大學專業進修學院高級講師